1.1 Relaciones.
Si resulta una trato, usaremos la notacion , que se lee “ esta relacionado por con “, o simplemente “ esta relacionado con “, para indicar el hecho de que . Si diremos que “ nunca esta relacionado por con ” asi como usaremos la notacion . Tambien, el comun se dira combinado de partida, asi como conjunto sobre advenimiento (o trayecto) de .
Sea una contacto. Definimos su dominio por , y su apariencia por . El combinado puede llamarse esquema de la comunicacion desplazandolo hacia el pelo se anota . Seria directo que , aunque en general no es cierta la igualdad igual que conjuntos.
Toda accion induce an una conexion. Si resulta una funcion, la comunicacion asociada seria , a donde el total sobre pares ordenados esta hexaedro por
Claramente se cumple que , e
Igualdad sobre relaciones De la definicion de contacto igual que una terna, seria directo que 2 relaciones y no ha transpirado son iguales ssi . A su oportunidad, seria igualmente Cristalino que si , entonces De aqui que se cumple
1.2 Relaciones en donde .
Modelo trascendente
Estudiemos las 4 propiedades anteriores para la trato en semejante que
donde es un natural fijo. Esta relacion se llama sobre congruencia modulo y si decimos que “ seria congruente con modulo “, o que “ es lo mismo a modulo “. Son usuales las notaciones (mod ) o . Simetria Sean tales que . Tenemos que tratar que . Sabemos que . Sea tal que . Despejando se goza de que , Es decir hemos visto un entero semejante que lo que demostracii?n que . Refleja Sea . Debemos examinar que . En otras palabras Tenemos que encontrar tal que . Basta coger , con lo cual y no ha transpirado se concluye que . Transitividad Sean tales que . Existen que examinar que . Se tiene Con El Fin De un exacto , y Con El Fin De un exacto . Seguidamente, despejando, se obtiene . Hemos visto un impasible semejante que , posteriormente . Antisimetria nunca lo es En Caso De Que por consiguiente, por ejemplo si , se tiene https://besthookupwebsites.net/es/maiotaku-review/ que desplazandolo hacia el pelo ademas sin embargo . Si , la conexion es la igualdad en , debido a que nunca es sorprendente que sea tambien antisimetrica. Ademas esta trato cumple las siguientes prestaciones (a) . (b) . En proposito, la hipotesis implica que , Con El Fin De varios . (a) Sumando estas ecuaciones, obtenemos , sobre donde sale que . (b) Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos , de en donde sale que .
Prototipo La contacto sobre divisibilidad en es un equilibrio parcial desplazandolo hacia el pelo la conexion seria un orden total.
1.3 Relaciones sobre equivalencia.
Recordemos que una relacion en seria sobre equivalencia ssi es refleja, simetrica y no ha transpirado transitiva.
Ejemplo Considere la contacto de congruencia modulo 2 en ( ). En esta comunicacion seria el total sobre las pares, es el conjunto de las enteros impares, son los impares, . En este exponente Hay solo 2 tipos sobre equivalencia distintas asi como . Observemos que . Ademas . Prestaciones
Las dos prestaciones anteriores Posibilitan aclarar la particion sobre .
Esto es, la clan de subconjuntos de , 2 a 2 disjuntos, cuya vinculacion seria . De modo mas precisa, existe un total sobre subconjuntos nunca vacios sobre , (que sera la particion sobre ), semejante que si entonces (dos a dos disjuntos) asi como
Esta ultima union se comprende como sigue
La particion que nos interesa edificar es la formada por las clases sobre equivalencia de , es decir,
Este conjunto se llama total cociente sobre , asi como se suele anotar tambien como .
Modelo fundamental
Para , encontrar el grupo cociente sobre por la relacion de equivalencia , que denotamos por (los “enteros modulo p”). Denotamos a la tipo de equivalencia sobre como . Echemos un vistado a primero dos casos triviales
En caso de que , sabemos que seria la igualdad en , asi como por lo tanto de cada . Seguidamente . En caso de que , entonces es directo que , debido a que Existen una sola clase sobre equivalencia Con El Fin De todos las enteros , y (un combinado con un unicamente aspecto).
En la actualidad supondremos que . Esta es la restriccion que habitualmente se impone cuando se usan las congruencias modulo en la costumbre. Haremos manejo sobre la division de numeros enteros, que se puede enunciar como sigue En Caso De Que desplazandolo hacia el pelo , entonces hay una unica pareja sobre enteros , llamados respectivamente cociente y no ha transpirado resto sobre la division de por , tales que , y aparte .
Si seria un firme cualquiera, dividiendolo por obtenemos , con . Pero esta ecuacion dice que , es decir, que . Sobre aqui que las clases sobre equivalencia para son solo . Tambien estas tipos son diversas entre si, Ya que si , Con El Fin De , por lo tanto . Sin embargo igual que Ademi?s , entonces la unicidad de la division sobre por entrega .
Concluimos por lo tanto que , asi como tiene exactamente componentes.
Estructuras Algebraicas
1.4 Leyes de composicion interna
Para simplificar la notacion, En muchas ocasiones se eliminan incluso las parentesis de la notacion sobre clases de equivalencia en , escribiendo . Puede igualmente denotarse el + de igual que y no ha transpirado el sobre igual que . Con estas convenciones, el prototipo 1 seria Solamente la suma y no ha transpirado el articulo en , y no ha transpirado el exponente 2 corresponde a la suma en .
1.5 Propiedades basicas de las l.c.i
Hacienda El neutro, cuando existe, es unico (y poseemos por lo tanto derecho a hablar sobre el neutro).
En proposito, supongamos que existen neutros asi como . Despues .
Asociatividad Decimos que la l.c.i. en es asociativa ssi
Elementos inversos Si hay neutro , decimos que posee a como inverso, o que seria un inverso de ssi
En general, un inverso Con El Fin De no es unico. Cuando sea unico lo denotaremos . Una naturaleza de unicidad seria la siguiente,
Hacienda Si posee neutral desplazandolo hacia el pelo es asociativa por lo tanto las inversos son unicos.
En efecto, sean tales que y . Luego operando por Durante la reciente igualdad por la izquierda se obtiene . Igual que la jurisprudencia es asociativa por lo tanto , de lo que deducimos que .
Conmutatividad Decimos que la l.c.i. en seria conmutativa ssi
Supongamos que resulta una organizacion algebraica asociativa asi como con neutral